ՀՀ ԳԱԱ Ինֆորմատիկայի և ավտոմատացման պրոբլեմների ինստիտուտի Դիսկրետ մաթեմատիկայի բաժնի գիտաշխատողները պարզել են, որ կողմնորոշված գրաֆների համիլտոնյանության համար անգլիացի հայտնի մաթեմատիկոս Նեշ-Վիլյամսի (1932-2001) առաջարկած երկու վարկածները (1966թ. և 1975թ.) հնարավոր չէ լավացնել, տեղեկացնում է ՀՀ ԳԱԱ գիտության հանրայնացման և հասարակայնության հետ կապերի բաժինը։

Գրաֆը (կողմնորոշված գրաֆը) կետերի/գագաթների բազմություն է, որտեղ գագաթների որոշ զույգեր միացված են կողերով (աղեղներով): Գրաֆը (կողմնորոշված գրաֆը), որը պարունակում է իր յուրաքանչյուր գագաթով ճիշտ մեկ անգամ անցնող ցիկլ (կողմնորոշված ցիկլ), կոչվում է համիլտոնյան: Պարզել, արդյոք տրված գրաֆը համիլտոնյան է, թե՝ ոչ, գրաֆների տեսության կենտրոնական խնդիրներից մեկն է և պատկանում է մաթեմատիկայի, այսպես ասած, NP-լրիվ (դժվար) խնդիրների դասին:

«Համիլտոնյանության և նրա հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ ունեն ինչպես տեսական, այնպես էլ գործնական բազմաթիվ կիրառություններ՝ շրջիկ վաճառականի խնդիրը, ցանցերի նախագծման և մեծ ինտեգրալ սխեմաների ուղեգծման փուլում առաջացած խնդիրները բերվում են համապատասխան գրաֆի համիլտոնյանության խնդրին, գրաֆի ցիկլերի և ճանապարհների հետ կապված խնդիրներ են առաջանում բազմաթիվ այլ բնագավառներում: Հետևաբար, անհրաժեշտություն է առաջանում գտնել այնպիսի պայմաններ, որոնց դեպքում գրաֆը համիլտոնյան է: Բազմաթիվ հետազոտողների կողմից ստացվել են մի շարք բավարար պայմաններ, որոնք ապահովում են գրաֆում համիլտոնյան ցիկլի գոյությունը»,- ասել է ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ, առաջատար գիտաշխատող Սամվել Դարբինյանը:

Կողմնորոշված գրաֆների համիլտոնյանության համար ամենահայտնի վարկածները առաջարկել է Նեշ-Վիլյամսը (1966թ. և 1975թ.), որոնք ձևակերպվում են գրաֆի գագաթներից դուրս եկող և գագաթները մտնող աղեղների քանակների չնվազող հաջորդականությունների միջոցով: Անցած մոտ 50 տարիներին գտնված չէ որևէ արդյունք, որը ինչ-որ չափով կապված է Նեշ-Վիլյամսի վերևում նշված վարկածների հետ, նույնիսկ որոշակի սահմանափակումների դեպքում:

Բիրմինգհեմի համալսարանի պրոֆեսորներ Կուհնն, Օստհուսը և Թրեգլոունը (J. Combin. Theory, B 100, 2010թ.) ցույց են տվել Նեշ-Վիլյամսի վարկածի մոտարկող մի տարբերակի ճշտությունը, երբ գրաֆի գագաթների քանակը բավականին մեծ է: Նշված աշխատանքում հեղինակները կողմնորոշված գրաֆների համիլտոնության համար առաջարկել են ևս մի վարկած, որը ճիշտ է, եթե Նեշ-Վիլյամսի վարկածներից մեկն ու մեկը ճիշտ է: Այդ նույն աշխատանքում հեղինակները հարցնում են. գոյություն ունե՞ն արդյոք այնպիսի կողմնորոշված գրաֆներ, որոնք բավարարում են Նեշ-Վիլյամսի նշված վարկածների բոլոր պայմաններին, բացի մեկից, բայց համիլտոնյան չեն:

«Մեր աշխատանքում, մասնավորապես, տրվում է նշված հարցի պատասխանը՝ ցանկացած դրական ամբողջ թվի համար կառուցելով անթիվ բազմությամբ ոչ համիլտոնյան -կապակցված կողմնորոշված գրաֆներ, որոնք ցույց են տալիս, որ կողմնորոշված գրաֆների համիլտոնյանության համար Նեշ-Վիլյամսի առաջարկած երկու վարկածները, ինչպես նաև Կուհնի, Օստհուսի և Թրեգլոունի վարկածը լավացնելի չեն այն իմաստով, որ նշված վարկածներից ցանկացածի պայմաններից որևէ մեկի թուլացումից հետո պնդումը, ընդհանուր դեպքում, ճիշտ չէ։ Կառուցված կողմնորոշված գրաֆները նույնպես ցույց են տալիս, որ համիլտոնյանության բավարար պայմանները, որոնք ստացել են J. of Graph Theory ամսագրի գլխավոր խմբագիր, դանիացի հայտնի մաթեմատիկոս Թոմասենը (Proc. London Math. Soc. (3)42, 1981թ.) և Դարբինյանը (DAN Arm. SSR, 82(1), 1986թ.), նույնպես դառնում են սխալ, եթե նրանց կիսաաստիճանների վրա դրված պայմաններից մեկը թուլացվում է, նույնիսկ այն դեպքում երբ գրաֆի գագաթային-կապակցվածության թիվը մեծ է»,- ասել է Սամվել Դարբինյանը:

Աշխատանքը կատարվել է «Գրաֆների տեսության էքստրեմալ խնդիրներ» թեմայի շրջանակում՝ բազային ֆինանսավորմամբ: Աշխատանքը հետաքրքրություն է առաջացրել մի շարք մասնագետների շրջանում։ Սամվել Դարբինյանի «On three conjectures of Thomassen and the extremal digraphs for two conjectures of Nash-Williams» աշխատանքը ներկայացվել է գրաֆների տեսության ամենահեղինակավոր գիտական ամսագրին (J. of Graph Theory) և այժմ գտնվում է գրախոսման փուլում: